Conjuntos prevalentes y cautos

En matemáticas, las nociones de prevalente y cauto^[1]​ son conceptos similares a "casi en todas partes" y "medida cero", que se adaptan bien al estudio de los espacios de dimensión infinita y que hacen uso de la invariancia a la traslación de la medida de Lebesgue en espacios reales de dimensión finita. El término "cauto" (originalmente shy en inglés) fue sugerido por el matemático estadounidense John Milnor.^[2]​

Definiciones

Prevalencia y cautela

Sea ${\displaystyle V}$ un espacio vectorial topológico real y sea ${\displaystyle S}$ un subconjunto de ${\displaystyle V}$ con medida de Borel. Se dice que ${\displaystyle S}$ es prevalente si existe un subespacio de dimensión finita ${\displaystyle P}$ de ${\displaystyle V,}$ llamado conjunto sonda, tal que para todo ${\displaystyle v\in V}$ se tiene que ${\displaystyle v p\in S}$ para casi todo ${\displaystyle \lambda _{P}}$ ${\displaystyle p\in P,}$ donde ${\displaystyle \lambda _{P}}$ denota la medida de Lebesgue dimensional ${\displaystyle \dim(P)}$ en ${\displaystyle P.}$ Dicho de otra manera, para cada ${\displaystyle v\in V}$ de Lebesgue: casi todos los puntos del hiperplano ${\displaystyle v P}$ se encuentran en ${\displaystyle S.}$

Se dice que un subconjunto que no es de Borel de ${\displaystyle V}$ es prevalente, si contiene un subconjunto de Borel prevalente.

Se dice que un subconjunto de Borel de ${\displaystyle V}$ es cauto si su complemento es prevalente; se dice que un subconjunto de ${\displaystyle V}$ que no es de Borel es cauto si está contenido dentro de un subconjunto de Borel cauto.

Una definición alternativa, y un poco más general, es definir un conjunto ${\displaystyle S}$ como cauto si existe una medida transversal para ${\displaystyle S}$ (que no sea una medida trivial).

Prevalencia local y cautela

Se dice que un subconjunto ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle V}$ es localmente cauto si cada punto ${\displaystyle v\in V}$ tiene un entorno ${\displaystyle N_{v}}$ cuya intersección con ${\displaystyle S}$ es un conjunto cauto. Se dice que ${\displaystyle S}$ es localmente prevalente si su complemento es localmente cauto.

Teoremas sobre prevalencia y cautela

• Si ${\displaystyle S}$ es cauto, también lo es cada subconjunto de ${\displaystyle S}$ y cada traslación de ${\displaystyle S.}$
• Todo conjunto cauto de Borel ${\displaystyle S}$ admite una medida transversal que es finita y tiene soporte compacto. Además, esta medida se puede elegir de modo que su soporte tenga un diámetro arbitrariamente pequeño.
• Cualquier conjunto numerable finito o unión de conjuntos cautos también es cauto. De manera análoga, prevalece la intersección contable de conjuntos prevalentes.
• Cualquier conjunto cauto también lo es localmente. Si ${\displaystyle V}$ es un espacio separable, entonces cada subconjunto localmente cauto de ${\displaystyle V}$ también lo es.
• Un subconjunto ${\displaystyle S}$ de un espacio euclídeo ${\displaystyle n}$-dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es cauto si y solo si tiene medida de Lebesgue cero.
• Cualquier subconjunto prevalente ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle V}$ es denso en ${\displaystyle V.}$
• Si ${\displaystyle V}$ es de dimensión infinita, entonces cada subconjunto compacto de ${\displaystyle V}$ es cauto.

En lo sucesivo, se entiende por "casi todos" que la propiedad indicada se cumple en un subconjunto predominante del espacio en cuestión.

• Casi todas las funciones continuas desde el intervalo ${\displaystyle [0,1]}$ hasta la recta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ son funciones diferenciables; aquí el espacio ${\displaystyle V}$ es ${\displaystyle C([0,1];\mathbb {R} )}$ con la topología inducida por la norma del supremo.
• Casi todas las funciones ${\displaystyle f}$ en un espacio ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1];\mathbb {R} )}$ tienen la propiedad de que

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\neq 0.}$ Claramente, la misma propiedad se cumple para los espacios de funciones ${\displaystyle k}$-veces diferenciables ${\displaystyle C^{k}([0,1];\mathbb {R} ).}$

• Para ${\displaystyle 1$ casi todas las secuencias ${\displaystyle a=\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{p}}$ tienen la propiedad de que la serie

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}}$

diverge.

• Versión de prevalencia del teorema de embebido de Whitney: Sea ${\displaystyle M}$ una variedad compacta de clase ${\displaystyle C^{1}}$ y dimensión ${\displaystyle d}$, contenida en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Para ${\displaystyle 1\leq k\leq \infty ,}$, casi todas las funciones de ${\displaystyle C^{k}}$, ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{2d 1}}$ es un encaje de ${\displaystyle M.}$
• Si ${\displaystyle A}$ es un subconjunto compacto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con dimensión de Hausdorff-Besicovitch ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle m\geq ,}$ y ${\displaystyle 1\leq k\leq \infty ,}$ entonces, para casi todas las funciones ${\displaystyle C^{k}}$, ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle f(A)}$ también tiene dimensión de Hausdorff ${\displaystyle d.}$
• Para ${\displaystyle 1\leq k\leq \infty ,}$ casi todas las funciones ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ tienen la propiedad de que todos sus puntos periódicos son hiperbólicos. En particular, lo mismo es válido para todos los puntos del período ${\displaystyle p}$, para cualquier número entero ${\displaystyle p.}$

Referencias

Bibliografía

• Hunt, Brian R. (1994). «The prevalence of continuous nowhere differentiable functions». Proc. Amer. Math. Soc. (American Mathematical Society) 122 (3): 711-717. JSTOR 2160745. doi:10.2307/2160745. 
• Hunt, Brian R. and Sauer, Tim and Yorke, James A. (1992). «Prevalence: a translation-invariant "almost every" on infinite-dimensional spaces». Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 27 (2): 217-238. S2CID 17534021. arXiv:math/9210220. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00328-2.